これを覚えよ! 球の体積の求め方

球の体積の公式

球の体積をV、円周率をπ、半径をrとすると、

となります。

これが、およそ立方体の体積の半分くらいと覚えておけば、間違いはないでしょう。

立方体の中に球を入れると、その体積はおよそ半分くらいになるので、一度やってみるといいかもしれません。

球を立方体の中に入れているイメージがすぐに出てくるようになると、数学の実力が格段にアップしますよ！！

体積なので、単位が必ず三乗になることを忘れずに！！

球の体積の公式の覚え方

身の上に心配あるので参上！

身の上に心配ある＝3の上に4πr

参上＝3乗

これで球の体積の公式は覚えられましたね。

球の体積とは？

球の体積を求める前にまず、立方体の体積をどうやって求めるか覚えてますか？

立方体の体積をV、一辺をaとすると、

V＝a³

でしたよね？

もし、球の直径と同じ立方体があったとして、どちらの体積が大きいか分かりますか？

単純に考えて、球は丸いので球の方が体積が小さい(つまり角がある分だけ立方体の体積が大きい)ことは分かりますよね？

次に球の体積の公式から、検証してみましょう！！

球の体積の公式

球の体積をV、半径をr、円周率をπとすると、

V＝πr³

となります。

球の体積と立方体の体積の比較

それでは球の体積と立方体の体積を比較してみましょう。

球の体積をV₁、半径をr、円周率をπとすると、

V₁＝πr³

立方体の体積をV₂とし、球の体積と比較するために、一辺の長さを球の直径、つまり、2rとすると、

V₂＝(2r)³＝8r³

となります。

この二つを比較すると、πと8の大きさを比較すればいいので、πは明らかに6より小さいので、球の体積の方が小さいことが分かります。

つまり、球の体積は同じ直径の立方体よりも小さいことが分かっていれば、およその体積の検討がつくということです。

つまり、立方体の体積は球の体積のおよそ2倍くらいということですね。

公式を覚えてしまえば、それまでなのですが、大体の大きさを検討する際の参考にしておいてください。

それでは、実際の問題を解いてみましょう。

練習問題

半径3cmの球の体積を求めよ。

解答

球の体積をV、円周率をπとすると、

V＝×3³×π＝36π(cm³)

となります。

球の体積なので、単位は必ず三乗となります。

どんな図形でも体積の単位は三乗となるので、間違えないようにしてください。

ちなみに、この直径と同じ立方体の体積は

6³＝216(cm³)

となります。

πを3.14とすれば、球の体積は

36×3.14＝113.04(cm³)

となり、やはり球の体積は立方体の半分くらいとなります。

球の体積の公式⇄球の表面積の公式

ちなみに、球の表面積の公式については下記「球の表面積の公式」より！

球の表面積を求める公式!球の表面積を知らなければ心配アール!?