話を分かりやすくするために，3次関数に限っての説明をしよう。

関数f(x)=x³－6x²+9x+3　の極値は，f’(x)=3(x－1)(x－3)　だから　増減表を作ってx=1で極大値，x=3で極小値をもつことが分かるね。

それは，f’(x)=0として，x=1，3を求め，f’(x)の符号を調べると，x=1の前後で+から－に変化し，x=3の前後で－から+に変化することから分かるんだったよね。

増減表は作れるだろうね。

そこでつまずいてる人は多いに反省すべきだぞ。

■関数f(x)がx=αで極値をもつとは，どういうことか

→f’(α)=0であって，f’(x)の符号がx=αの前後で変化する場合をいうんだ。

つまりこれが極値をとることの定義なんだね。
 

例えば，関数g(x)=x³－3x²+3x－1 の場合だと，g’(x)=3(x－1)² だからg’(1)=0，ところが常に　g’(x)≧0だから　x=1の前後ではg’(x)の符号は変化しないことになる。

したがって，g(x)はx=1では極値はとらないということになる。g(x)は単調増加ということだね。

一般に3次関数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)が極値をもつための条件を考えてみよう。

上に書いた定義から，f’(x)＝0が実数解をもち，その解の前後でf’(x)の符号が変化すればいいわけだね。

ということは，2次方程式　f’(x)=0が異なる実数解を持てばいいということが分かる。

つまり，f’(x)=0の判別式をDとするとD＞0が3次関数f(x)が極値をもつための条件ということになる。
 

例題をやってみよう。

f(x)＝x³－ax²+3x+5が極値をもつ条件を求めてみよう。

f’(x)=3x²－2ax+3=0　だから　判別式はD/4=(－a)²－3・3＝a²－9

したがってD＞0より，a＜－3，3＜a　これが求める条件ということになる。

分かっただろうか。