命題の真偽を見極めるチカラ

物事が正しいか否かを見極めるのは本当に難しいですね。

大学で数学を学ぶと，定義に定理，命題，補題などなど・・・

論証のオンパレード，実に抽象的な事ばかりを扱います。

高校数学が得意でも，命題の真偽を見極めるのが苦手だったり，

論証が苦手だったりする学生は，数学科へ進むと痛い目に合うでしょう。

微分や積分などの計算が好きなら，数学科よりも物理学科へ進むのが正解です。

論証の技術，それが最も数学らしいスキルと言っても過言では無いと思います。

命題とは

「ニューアクションω 数学Ⅰ＋A」によれば，

• 命題・・・正しいか否かが定まる文や式
• 真・偽・・・命題が正しいことを真，正しくないことを偽という。

命題の真偽ってどうやったらわかる？

とりあえず問題数こなしましょう！

真でも偽でも，それをキチンと示す必要があります。

何事も嘘偽り無くキチンと示す，それが数学力，いや，自然科学の基本ですね。

最初は何となくでもOKです。

何となく「この命題は真である」と，そう思ったら，それを証明すればいい。

何となく「この命題は偽である」と，そう思うなら，反例を示せばいい。

ACTION「命題の真偽の判定は，まず反例をさがせ」

参照元「ニューアクションω 数学Ⅰ＋A」

何故，先ず反例を探せば良いのかと言うと，

反例が一つでも見つかれば，その命題が偽である事が示されてしまうから

です。

但し，明らかに真である事が分かる命題において，反例を探すのは，無駄な労力です。（当たり前）

因みに，真だと思い込まれている命題において，反例が発見され，その証明が覆される

なんて事も，自然科学では起こり得ます。（大発見ですね）

真だと既に証明された命題を本当に真だと信じるのか否か

それもアナタ次第です。（疑う心も大切です）

まぁ，高校数学で出題されるレベルの命題で，そんな厄介なのは存在しません，多分。

いくつか見ておきましょうか・・・。

例題

次の命題の真偽を調べ，真の場合は証明し，偽の場合は反例を示せ。

（１）２つの無理数の和は無理数である。

（２）面積の等しい２つの正三角形は合同である。

（３）円に内接し，内角がすべて等しい六角形は正六角形である。

答え

（１）偽　（２）真　（３）偽

あとは自力でヨロシク☆彡

どうしようか迷いましたが，反例と証明は，ココでは敢えて割愛します。

（１）の反例は代表的なものがあります。慣れてれば，すぐに思い付くでしょうか・・・。

（２）は比較的単純な計算で証明できます。１辺の長さがの正三角形の面積が等しい事を先ず立式しましょう。

（３）の反例は少し悩むかも知れませんね・・・。正三角形の重心を中心とする円を描いてみて下さい。（ヒント）

類題を探すのも勉強の一つ

「何を参考にしても良いから解いて来なさい」と，数学の宿題が出されました。

どうしますかー？

今は何でも検索すればヒットする時代です。

詳しい人に質問するのが一番手っ取り早い。

でも，

図書館に並ぶ膨大な数の数学書を片っ端から調べて，同じような問題を探してくる

それもアリだと筆者は思います。

時間が沢山ある学生のうちに，是非，色んな体験して下さいネ。