グラフによる二次不等式の解き方

みなさん二次関数のグラフの書き方はもうマスターしましたか？

二次不等式を解く際には、二次関数のグラフを考えるとわかりやすいですので、その解き方を紹介します。

2.下に凸な二次関数とx軸の位置関係を考える

この関数をf(x)とします。

①グラフが一度もx軸と交わらない場合

下に凸の二次関数のグラフは、その頂点のy座標が>0

だと一度もx軸と交わりません。

これは言い換えれば

二次方程式f(x)=0が実数解を持たない、判別式<0

の場合です。

グラフがx軸と交わりませんので、左辺は常に>0です。

従って二次不等式

f(x)>0 f(x)>=0の解はすべての実数

f(x)<0 f(x)<=0は解なしとなります。

②グラフがx軸と接する(一点を共有)場合

頂点のy座標が0の場合です。

上と同様に考えると

二次方程式f(x)=0が重解を持つ、判別式=0の場合です。f(x)を因数分解した形が

となるとする。

このとき、左辺は常に>=0です。

従って二次不等式

f(x)>0の解はb以外の実数

f(x)>=0の解はすべての実数

f(x)<0は解なし

f(x)<=0の解はx=b

となります。

③グラフがx軸と2点で交わる場合

方程式f(x)=0は二つの解を持ちます。

その解をα、β(α<β)とすると、グラフが下に凸になっていることから

x<α、x>βではf(x)<0

α<x<βではf(x)>0

とわかります。

これらのことを踏まえて、二次不等式の解き方をマニュアルのようにまとめてみます。

１．二次不等式の左辺をグラフが下に凸の二次関数にする

例えば

のような二次不等式は移項あるいは両辺-1倍して

のように

の係数が正になるようにします。(この場合は1)

その時に、両辺-1倍する場合は、不等号が逆転することに気をつけてください。

２.二次方程式f(x)=0を解いて左辺を無理やり因数分解

二次方程式をどんな解き方でも良いので解いてもらって

(x-2)(x+2)<0

のような形に因数分解してください。平方根が入っていてもOKです。

解なし、重解になる場合は上の通り簡単です。

最後に、左辺<0、左辺<=0のタイプなら2解の間が解

例:

(x-2)(x+2)<0なら-2<x<2

(x-2)(x+2)>0なら-2<=x<=2

左辺>0、左辺>=0なら2解から開いている範囲が解

例:

(x-2)(x+2)>0ならx<-2、x>2

(x-2)(x+2)>0ならx<=-2、x>=2

それぞれの場合にどうなるかに関しては、問題数をこなせば簡単に慣れていきます。

解き方を忘れても、グラフを書いて位置関係を考えれば自分でこの解き方が導けるはずですので心配はいりません。

ちなみに、|x-6|<x+4のような絶対値を含んだ1次不等式も、二次不等式の解き方が分かれば、両辺2乗して、二次不等式の解き方で解くことが出来るので是非やってみてください。