放物線を y 軸に平行な線（ x = [定数] で表される線）を軸に対称移動させる問題は、軸に対して頂点を対称移動させるだけで解けます。

もちろん、式変形ができることが前提ですので、　⇔　の変形が苦手な人は、先に「放物線を平行移動・対称移動させるときに必要な式変形」を見て練習しておいてください。

例題）放物線  を  を軸に対称移動した放物線を求めよう。

放物線はもともと左右対称な形をしています。なので、y 軸と平行な線（ x = [定数] で表される線）を軸に対称移動させても、x 軸に沿って平行移動させた場合と形は同じになります。

これは放物線を表す式において、 の係数が変化しないということです。

変化するのは頂点だけなので、頂点がどこへ移動しているべきかを考えましょう。

例題について考える前に、まず一般的に、点 ( a b ) を x = c で表される線を軸に対称移動させる場合を考えましょう。移動後の点の座標を ( a’ b’ ) とします。

まずイメージをつかむために以下の図を見てください。

これを見れば、a’ b’ がそれぞれ a b を用いてどう表せるかすぐにわかりますね。（今回は a < c として図を描きましたが、a > c の場合も同じになります。）

a’ = a + 2 ( c – a ) = – a + 2 c

b’ = b

これをもとに、例題の放物線の頂点を移動させましょう。

与えられた放物線の頂点の座標は ( 2 1 ) ですね。これを x = 3 を軸に対称移動させた点は、

( – 2 + 2 × 3 1 ) = ( 4 1 )

となります。

あとは、もとの式の頂点の座標部分だけ書きかえれば完成です。

答え）

以上、とても簡単ですね。

なぜ平行移動だけでいいのかもう少し詳しく確認しておきたいという人は「（補助）線対称移動の仕組み」を読んでみてください。