数学Ⅱに入ってすぐに出てくる二項定理ですが、意味もわからずただ式を覚えている人は少なくないんじゃないでしょうか？

ここでは二項定理について説明していきましょう。

その前に組合せを表すＣという記号がありますが、その説明からしていきます。分かる人は飛ばしてください。

ここに１から５がかかれた５個のボールがあります。ここから２個とるとき取り方は何通りあるでしょう？

書き出してみるとわかるとおもいますが１０通りですね。　これをと書きます（実際は数字はＣの左下、右下に小さめに書きます）。

一般的にいうと、ｎ個のものからｒ個のものをとる方法は通りです。

では二項定理の説明に入りましょう。（a²　は、aの２乗を表します。）

まず一番簡単な２乗のときを考えてみると、

（a+b）(a+b)となりますね。

これは分配法則から　aa+ab+ba+bb=a² + 2ab + b² となりますね。

ここで出てきた項を見てください。

aa ab ba bb は１つ目の(a+b)と２つ目の(a+b)からそれぞれ何かを選んでかけたもの　と考えられませんか？

aa　の場合　１つ目からa ２つ目から　a　を選んだ　と考えられるということです。　この取り出し方は２つの（a+b）からaを２つ選ぶ　ということなので　＝１　となります。　

一方、ab(ba) は１つ目からa(b)、２つ目からb(a)を選んだと考えられます。　この取り出し方は２つの（a+b）からa(b)を１つ選ぶということになるので　＝２　となります。

最終的にab ba はまとめることができるので　2abとなりますが、この係数は１行前ででた２に等しいですね。なぜかというとa、bの取り出し方の数は、出てくる項の数に等しいからです。

このようにしてa² ab b² の係数を求めて足せば最初に書いた式になります。

では５乗の場合を考えてみましょう。

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

ためしにa²b³の係数は何かを考えます。
５つの(a+b)からaを２つ選ぶ方法は最初の例で出したように＝１０通りです。

これをa⁵ a⁴b a³b² a²b³ ab⁴ b⁵ で全て考えて足すとそれは２乗でもやったように５乗の展開式に他なりません。

つまり(a+b)⁵ = ×a⁵ + ×a⁴b + ×a²b³・・・　+ ×b⁵ です。

これで少しは二項定理がわかったでしょうか？　

わからなかったら自分で何回か選んで足すということをやってみてください。次第に意味が分かってくるはずです。

また表記の仕方でわかりくいものをあると思うのでわかりくかったら自分で実際に書いてみるといいと思います。

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