結論から入ろう。
2次方程式　x²+x+1=0　の解は，解の公式から　x=｛－1±(√3)i｝/2　となるね。

この解をωという記号で表すんだ。

つまり，ω＝｛－1+(√3)i｝/2　または　ω＝｛－1－(√3)i｝/2　ということになる。

ωはこの2つの虚数のどちらと考えてもいいんだけれど，ω＝｛－1+(√3)i｝/2　とすると，ω²=｛－1－(√3)i｝/2，

また　ω＝｛－1－(√3)i｝/2　とすると，ω²=｛－1+(√3)i｝/2　という性質を持っているんだね。

ということは，どちらにしてもx²+x+1=0　の解の１つをωと表すと他方はω²と表されるということなんだ。

いいかえると2次方程式　x²+x+1=0　の2解は，ω，ω²　で表されるということになるんだね。

当然ω²+ω+1=0　も満たすことになる。

まだまだ，ωの重要性はあるので，説明していこう。

さて，3次方程式　x³=1　を考えてみよう。

変形して，x³－1＝0，左辺を因数分解して　(x－1)(x²+x+1)=1，

したがって　この3次方程式の解は，x=1，ω，ω²　となるね。だからωを1の虚数立方根ともいうんだ。

ここまでは分かってもらえただろうか。よーく考えてくれ。

ω³の値は？

１と答えられた人は大分分かってきたね。

この調子でさらに進もう。

ここまでで分かったことは，

x²+x+1=0　の解の一つをω(1の虚数立方根)と置くと他の解はω²と表されて，ω³＝1，ω²+ω+1=0　という性質を持つ，ということだね。

入試問題では次の様なものが出題される。

ω¹⁰⁰の値を求めよ。

というものだ。

力づくで100乗を計算，これは不可能だろう。

そこでω³＝1を使うことになる。

つまり，ω¹⁰⁰＝(ω³)³³×ω＝1³³×ω＝ω。

もう１題。

1+ω+ω²+ω³+…+ω⁹⁸　の値を求めてみよう。

(与式)＝(1－ω⁹⁹)/(1－ω)＝(1－1)/ (1－ω)＝0。

ωの出てくる入試問題も沢山あるので，ωのもつ性質をしっかり理解して使えるようになっておかないと合格は難しいかもしれないぞ。