相加相乗平均【ａ＋ｂ≧２√ａｂ】を使うときに、皆さんは「等号成立条件」というものをつかいますよね？

これを適当に当てはめて、もうこれで大丈夫！と自信満々になった時に、実は問題によっては落とし穴があります…

例題を使いながら、どういうことか確認していきましょう。

例題）実数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０を満たしながら変化するとき，（ａ＋１／ｂ）（ｂ＋４／ａ）の最小値を求めよ。

まずは、よくある間違いから示しますね。

ａ＋１／ｂ≧２√ａ×１／ｂ（等号成立条件はａｂ＝１のとき）…①　←（ａ＋１／ｂ）の相加相乗平均

ｂ＋４／ａ≧２√ｂ×４／ａ（等号成立条件はａｂ＝４のとき）…②　←（ｂ＋４／ａ）の相加相乗平均

①，②から　←それぞれの相加相乗平均を合わせれば，最小値が分かる

（ａ＋１／ｂ）（ｂ＋４／ａ）≧（２√ａ×１／ｂ）×（２√ｂ×４／ａ）＝４√４ａｂ／ａｂ＝８

よって最小値は８

…実はこれ、間違ってます。

なんで！って思う人もいると思います。

確かに（ａ＋１／ｂ）（ｂ＋４／ａ）それぞれの相加相乗平均を考えてから，まとめて最小値を考えることは間違ってはいません。

では、何が問題なのかというと、【①，②で等号成立条件が異なる】ということです。

よく見てあげると、①式はａｂ＝１のとき、②式はａｂ＝４のときですよね。

等号成立条件というのは、【最小値になるときの条件】のことです。即ち、等号成立条件が異なると、最小値にならない場合が出てきちゃうんです！

だからさっきの解き方は、間違っている、勿体ない！ということになります。

では、このような場合どう対応すれば良いかを下に示しますね。

正答）

（与式）＝５＋ａｂ＋４／ａｂ　←与えられた式を展開します

　　　　≧５＋２√ａｂ×４／ａｂ　←ａｂ＋４／ａｂに相加相乗平均を適用します

　　　　＝９

以上から，最小値は９（等号成立はａｂ＝４／ａｂ，つまりａｂ＝２のとき）

…どうでしょうか？先ほどと違う点は何かというと…

式の中身それぞれに相加相乗平均を適用×→【式を展開してから相加相乗平均を適用】○

という点です。

では，要点をまとめますね。

■まとめ（相加相乗平均の最小値を調べるとき）

 ・相加相乗平均を使うときは等号が成立することを確認する！

・等号成立条件が異なる場合は，【式を展開してから】相加相乗平均を使う

以上です！類題もたくさんあるので，解いてみてください！

【類題】

２００３年神奈川大学経済学部1⃣（３）