二次関数の軸と頂点の分かりやすい求め方!|数学勉強法
2次関数の軸
まずは、下の図を見てください。
この2次関数は
y=ax2+bx+c
に基づいています。
少し分かりずらいですが、これが2次関数の軸です。
この図を見て「あ、y軸に平行だ！」と気づいた人は合格です。
では、なぜこのような図になるのでしょうか？
先の2次関数の式を変形してみましょう。
y=ax2+bx+c
=a(x+
)2+c-
このことから、軸の方程式はx=-
、軸の頂点は(-
、
)となります。
いやあ、実に面倒ですよね。。。
でも、よく図の2次関数をよく見てください。軸はy軸に平行になっていますし、頂点の傾きはx軸に平行になっていますよね？
つまり、軸の頂点では傾きが0、つまりy’=0ということです。
では、実際に先の2次関数を微分してみましょう。
y’=2ax+b
これが0になるわけですから、この2次関数の軸はx=-
となるわけです。
これを覚えておくと、2次関数の頂点はすぐに求められます。
では、実際に練習問題を解いてみましょう。
練習問題
2次関数
y=2x2+5x-2
の軸の方程式と頂点の座標を求めなさい。
解答
せっかくなので、ここでは微分する方法でやってみましょう。
y’=4x+5=0
x=-
ああ、なんて簡単なんでしょう！！
たったこれだけで軸の方程式が求められます。
あとは、このxの値を先の2次関数に入れるだけです。
y=2×(-
)2+5×(-
)-2=-
つまり、答えは、
軸の方程式
x==
2次関数の頂点(-
–
)
となります。
分数の計算は面倒ですが、ここは頑張って出してください。
計算間違えは厳禁です。
もちろん最初に示した方法でも出来ますので、興味ある人は自分でやってみてください。
まとめ
2次関数は放物線です。
そのため、上か下に凸のグラフになります。
つまり、必ず頂点が存在するということです。
その頂点の軸はy軸に平行になります。
また、頂点における傾きはx軸に平行になります。
この;2点は覚えておくと、2次関数のことをイメージしやすいです。
軸の方程式を求める際には、この頂点における2次関数の傾きが0なので、微分して求めましょう。
このように、2次関数がx軸とy軸に対し、どういう位置関係にあるのかを瞬時にイメージできることがこの解を求める際のポイントとなります。
このイメージがすぐ出来るようになると、2次関数の軸がy軸になるときはどんなときかすぐに分かるようになります。
え？分からないって？
一般的な2次関数
y=ax2+bx+c
の場合でいえば、b=0の時、2次関数の軸はy軸になります。
a=0だと2次関数にならないことは大丈夫ですよね？
y=ax2+c
これを微分すると
y’=ax=0
つまり、x=0となり、この2次関数の軸がy軸となることが分かります。
こういったことがすぐにイメージできるようになれば完璧です。
