数学的帰納法の証明とは、簡単に説明すると、

1：まず出発点となる命題を証明する 

2：直前の命題が正しければ、次の命題も正しいことを証明する

この2つを証明することで、全ての場合の命題が正しいことを証明するという手法です。

特に自然数についての証明や、数列を解く際の最終手段などに用いることができます。

少し回り道な手法ではあるのですが、上手く使えば確実に問題を解くことができます。

使いこなせることに損はないので、ぜひここでマスターしましょう。

例題を見てみましょう。

例題

が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ.

これは皆さんも一度は見たことがあるシグマの公式ですね。

これを数学的機能法で解いてみます。

（Ⅰ）のとき

よって成り立つ。

（Ⅱ）で与式が成り立つと仮定すると

両辺にを加えると

よってでも成り立つ。 

以上（Ⅰ）（Ⅱ）より、全ての正の整数に対して等式は成り立つと言える。　終

このようにステップを踏んで証明することができました。

これだけだと大したことないと思うかもしれませんが、室はこれは画期的な解法です。

何故なら、一般式を強引に予想して、それを証明するという荒業ができるからです。

例えば、以下のような例題を考えます。

例題

で表される数列の一般項を求めよ。

もちろん数列をきちんと勉強していれば簡単に解ける問題ですが、

もしどうやって解くかが分からなくなってしまったとします。

そんなときに、強引な解法として数学的帰納法が使えるかもしれません。

を1から順番に式に当てはめていくと

ここから、一般式は以下のように表せると予想できる。

（Ⅰ）のとき

よって成り立つ。

（Ⅱ）で成り立つと仮定すると

よってでも成り立つ。

（Ⅰ）（Ⅱ）より、全ての正の整数に対して等式は成り立つと言える。　

以上より、

 終

この例題はちょっと極端なので、普通に漸化式を解いた方が簡単ですが、

もう少し厄介なものでも、もし一般式を予想することができれば同じ解法ができます。

この方法の特徴は、ゴールが見えているので解くのは簡単だということです。

（もちろん、予想が外れていたらアウトですが…）

最初から何でもこの方法で解くのはおススメできませんが、行き詰ったときの

最後の手段として持っておくと安心ですので、上手く使っていきましょう。