難問を解くために必要な数学力とは、
①基礎知識の定着
②問題分析力
③数式表現力
④数学的な解決力
⑤計算力の５つです。
そして、これらのうち一つでも欠けている場合、数学の難問には太刀打ちできません。まずは、これらの数学的技能のどれが自分に欠けているのかを知る必要があります。

基礎知識の定着について

教科書や参考書の内容が頭に入っているからといって、基礎知識が定着しているわけではありません。数学における基礎知識の定着とは、①公式や定理が成立つ原理を説明できて、②公式や定理の応用方法を理解していることを意味します。例えば、tan(タンジェント)のグラフが独特の形をとる理由を説明できますか？教科書内容だけでよいので、「すべての基本事項を深く復習」してください。

問題分析力について

数学の難問においては、その場で柔軟に解答を考えなければなりません。例えば、「ＡのときＢが成立するための条件を求めよ」という定番の形の問題で途中で詰まる人は、解法を知らないのではなく、「ＡのときＢが成立する」ことを理解していないのです。難問を解くためには、問題文の「設定を正しくチェック」してください。

数式表現力と数学的な解決力について

問題を正しく分析した後は、その結果を数式で表して、それを組み替えて解答を導きます。例えば先ほどの問題では、ＡとＢを正しく２つの数式に表して、それらを比較して数学的な関係性に着目することで、求める条件を導きます。問題文の「設定を数式に変換する」ことができているかを確認してください。

計算力について

上に凸の放物線の面積を求める問題を考えてみます。放物線と直線が囲む面積を求めるとき、インテグラルの中に放物線と直線の２つの方程式を書きます。しかし、放物線とＸ軸が囲む面積を求めるときには、インテグラルの中には放物線の方程式しか書きません。この違いを説明できますか？難問では「計算方法を考える」ことが意外なヒントとなることがあります。

難問対処法のまとめ

難問を解くためには、①基礎知識の定着、②問題分析力、③数式表現力、④数学的な解決力、⑤計算力の５つの数学力をバランスよく養成しなければなりません。そのために、難問を演習する際の考え方を復習してみましょう。まずは、「すべての基本事項を深く復習」することで、基礎知識の定着をはかってください。その上で、問題を解くときは「設定を正しくチェック」し、問題文の「設定を数式に変換」して解答を求めてください。そして、この過程で常に「計算方法を考える」ことを意識してください。